Консультации

й. вы не можете зарегистрировать ребенка в квартиру, в которой нет собственника, так как это нарушает права последнего. как только вопрос с наследством будет улажен, ребенка зарегистрируют по месту жительства матери.
2.без регистрации согласно приложению к к Постановлению КМ РУз от 07.07. 2011 г. N 200 вы не можете получить на ребенка биометрический паспорт:

ПОЛОЖЕНИЕ
о порядке выдачи биометрического паспорта
гражданина Республики Узбекистан и проездного
документа лица без гражданства для лиц,
не достигших 16-летнего возраста

2. При выезде за границу гражданина Республики Узбекистан, не достигшего 16-летнего возраста (далее - гражданин), а также лица без гражданства, не достигшего 16-летнего возраста (далее - лицо без гражданства), их родители, опекуны (попечители), представители учреждений и организаций обращаются в территориальные подразделения Управления въезда-выезда и оформления гражданства Министерства внутренних дел Республики Узбекистан (далее - пункт сбора) по месту постоянной прописки граждан и лиц без гражданства в случаях, предусмотренных пунктом 15 настоящего Положения (за исключением подпункта "б").
При выезде граждан Республики Узбекистан в страны СНГ, для въезда в которые не требуется оформление въездных виз, оформление стикера разрешительной записи для выезда за границу не требуется.

То есть, если вы выезжаете в страны СНГ и у вас на ребенка вклейка в паспорте родителя, то вы сможете выехать. А в страны дальнего зарубежья не сможете.
Вы написали, что у матери ребенка биометрический паспорт. Если у отца ребенка паспорт старого образца и он также участвует в поездке, то возможно сделать вклейку на ребенка в его паспорт и таким образом выехать за рубеж.

Возможно, если ваш супруг прописан по другому адресу, вы можете зарегистрировать ребенка у него, предоставив свое нотариально заверенное согласия на проживание ребенка по адресу отца.